Sucesiones

22 de abril de 2009 - 13:21

Sucesión matemática

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Una sucesión matemática es una aplicación definida sobre los números naturales. Es costumbre emplear las letras u, v, w... para designarlas, en vez de f, g, h... que sirven para las funciones. Del mismo modo, la variable se nota usualmente n (por natural) en vez de x, habitual para las variables reales.

Por convención, se escribe u_n [en vez de u(n)], la imagen de n por la sucesión u, o sea el término número n+1 de la sucesión u (el primer término es habitualmente u₀).

$begin{matrix} u:& mathbb{N} & to & mathbb{R} & n & to & u_n end{matrix}$

Existen esencialmente dos maneras de definir una sucesión: explícitamente o implícitamente.

También asociado a una sucesión está el concepto de convergencia.Definición explícita [editar]

La definición es explícita cuando se da una fórmula que permite hallar u_n mediante un cálculo único donde no interviene otra variable que n. En otras palabras, u_n es una función de n: u_n = f(n).

Es el caso representado por el primer gráfico, donde la función es polinomial. Los términos de la sucesión son las ordenadas de los puntos rojos, cuyas abscisas son los enteros naturales.

Cuando la función f es definida también en los reales (como en la figura), el estudio de f (límite en + ∞ variaciones, extremos) permite conocer perfectamente u:

Si f tiende hacia l (en + ∞) entonces también lo hace u. La recíproca es errónea, como lo muestra la función f(x) = sin(2π·x), que no tiene límite mientras que u_n = f(n) es siempre nulo y u tiende por lo tanto hacia cero.
Si f es creciente en un intervalo [a; b] entonces u lo es para los valores enteros positivos del intervalo (o sea sobre [a; b] ∩ $mathbb{N}$ ).
Para los extremos, la cosa se complica: si los extremos de f no corresponden a valores enteros de x, entonces se tiene que considerar los naturales más próximos y comparar los u_n correspondientes. En la figura, f tiene un mínimo relativo en el intervalo ]2; 3[, y como u₂ < u₃, u₂ es un mínimo relativo de u. El máximo relativo de f en ]6; 7[ da dos máximos relativos de u porque u₆ = u₇.

Sin embargo, existen métodos para estudiar u sin estudiar f: el sentido de variación se puede determinar con el signo de u_n+1 - u_n (si es positivo, u crece), o comparando la fracción u_n+1/u_n con 1 (apropiado cuando u es de signo constante, a ser posible positivo). Estos cálculos pueden ser más sencillos cuando f tiene una función derivada complicada.

En algunos casos, la función f que aparece en u_n = f(n) no puede extenderse a $mathbb{R}$ . Es el caso si definimos u_n como el número de factores propios de n por ejemplo, u otras funciones aritméticas, como la función fi de Euler o la Función de Möbius µ . El estudio clásico de las funciones, mediante la derivación, es entonces imposible.

Definición implícita [editar]

La definición es implícita cuando u_n no sólo depende de n sino también de otros términos de la sucesión, que se tendrán que calcular antes.
Por ejemplo se puede fijar u_o = 1 y decidir que para cualquier natural n > 0, u_n = n·u_n-1. Para hallar u₃ digamos, hay que calcular u₂ lo que necesita el conocimiento de u₁ el cual se calcula con u_o.
Obtenemos: u₁ = 1×u₀ = 1, luego u₂ = 2×u₁ = 2 y por fin u₃ = 3×u₂ = 6. Son los factoriales.

Otro ejemplo muy conocido es la sucesión de Fibonacci definida por u_n+2 = u_n+1 + u_n.
La fórmula que define un término con relación a los anteriores se llama relación de inducción.

Cuando el término general u_n sólo depende del término anterior , u_n-1, es decir cuando existe f tal que u_n = f(u_n-1) o; lo que viene a ser lo mismo u_n+1 = f(u_n) (para todo natural n), entonces existe un método gráfico de construirla, muy instructivo (ver imagen):

En un sistema de coordenadas se trazan la curva de f y la diagonal (de ecuación y = x). Se empieza por el punto de abscisa del eje horizontal u_o y se sube (o baja) verticalmente hasta encontrar la curva de f. Como u₁ = f(u_o), la ordenada de este punto es u₁. Sin embargo para obtener u₂ necesitamos tener u₁ en las abscisas. Por esto nos desplazamos horizontalmente hasta encontrar la diagonal. En la diagonal, abscisa y ordenada son iguales (por su ecuación y = x), luego bajamos hasta encontrar el eje de las abscisas lo que nos permite leer el valor de u₁. A partir de ahí el proceso se repite igual, pues u₂ = f(u₁) etcétera.

En la práctica, basta trazar la escalera entre la curva y la diagonal para evidenciar el comportamiento de la sucesión ( creciente, decreciente u oscilatoria) y su eventual límite denotado l (ele): si es finito, tiene que ser la abscisa de un punto de intersección de la curva de f y de la diagonal porque tiene que verificar l = f(l), relación obtenida tomando el límite de u_n = f(u_n-1) ( con f continua). Si se acepta la notación f(+ ∞) para designar el límite en el infinito, entonces la relación anterior se extiende tal cual a los infinitos.

Supongamos f continua y derivable en l, límite potencial de la sucesión. Entonces se puede predecir su comportamiento local cerca de l (es decir si u_n es próximo a l, como evoluciona la sucesión a partir de este término). Este comportamiento, en primera aproximación, sólo depende de f '(l), el valor derivado en l:

Los tipos de sucesiones más comunes son:

Las sucesiones aritméticas [editar]

Artículo principal: Progresión aritmética

Una sucesión aritmética puede ser definida como función de n:

$u_n = u_0 + r cdot n qquad (r in mathbb{R})$

También puede ser definida por inducción de la siguiente forma:

$begin{matrix} u_0 & = & a qquad & (a in mathbb{R}) u_{n+1} & = & u_n + r & (r in mathbb{R}) end{matrix}$

Al número real r se le denomina razón de la sucesión.

Si la razón es positiva, la sucesión crece, y tiende hacia + ∞. Si es negativa, decrece y tiende hacia - ∞. Si es nula, la sucesión es constante.

Ejemplo:

Existe una fórmula muy sencilla para sumar números en progresión aritmética (es decir términos sucesivos de una sucesión aritmética): se multiplica el término medio, que es el promedio de los términos extremos, por el número de términos. Esta fórmula toma las formas siguientes, según el contexto:

$S = frac {mbox{n}acute{mbox{u}}mbox{mero de t}acute{mbox{e}}mbox{rminos} times (mbox{primer t}acute{mbox{e}}mbox{rmino} + acute{mbox{u}}mbox{ltimo t}acute{mbox{e}}mbox{rmino} )} {2}$

$S = u_0 + u_1 + cdots u_n = frac {(n + 1)(u_0 + u_n)} {2}$

$S = u_1 + u_2 + cdots u_n = frac {n(u_1 + u_n)} {2}$

Como caso particular muy frecuente: $1 + 2 + 3 + cdots + n = frac{n(n+1)}{2}$

A veces lo más difícil es encontrar el número de términos para poder aplicar la fórmula. Si el primer término a sumar vale a, el último vale b, y la razón es r, entonces el número de términos en la suma es:

$frac{|b - a|}{r} + 1$

Por ejemplo, para la suma: S = 1492 + 1499 + 1506 + ... 2003 de términos consecutivos de una sucesión de razón 7, encontramos $frac{2003 - 1492}{7} + 1 = 74$ términos, y la suma es $frac {74 times (1492 + 2003)}{2} = 129 315$ .

Las sucesiones geométricas [editar]

Artículo principal: progresión geométrica

Una sucesión geométrica puede ser definida como función de n:

$u_n = b cdot r^n qquad (r in mathbb{R})$

También puede ser definida por inducción de la siguiente forma:

$begin{matrix} u_0 & = & b qquad & (b in mathbb{R}) u_{n+1} & = & r cdot u_n & (r in mathbb{R}) end{matrix}$

Al número real r se le denomina también razón de la sucesión. A menudo se la denota q.

Ejemplo:

El comportamiento de la sucesión geométrica depende del signo del primer término y del valor de su razón.

Si la razón es positiva, entonces la sucesión es monótona, y tiene un aspecto muy regular, que se puede prolongar por una función de tipo exponencial de base r: $u_n = b cdot r^n$ se prolonga en f(x) = b·r^x.

Se distinguen cuatro casos, como se ve en la figura siguiente; las ordenadas de los puntos negros son los valores de la sucesión, y la curva representa la función:

Si la razón es negativa, entonces la sucesión es oscilante. Se distinguen dos casos en función de si r es menor que -1 ó no. El signo del primer término no modifica el aspecto general de la sucesión (cambiar de signo equivale a una simetría alrededor del eje horizontal, y aquí no se nota mucho). Las potencias rⁿ con r negativo no se generalizan a los reales, salvo convención particular, y por lo tanto no existe una función natural que prolongue la sucesión. En la figura siguiente se ha multiplicado la función |r|^x por el factor cos πx para simular el cambio periódico de signo.

Si el término inicial es nulo, o si la razón vale -1, 0 ó 1, la sucesión no entra en la clasificación anterior, pero no importa pues en tal caso carece de interés.

Descartando estos casos particulares, se puede decir que la convergencia de la sucesión depende del valor absoluto de la razón:

si |r| > 1, no converge, y si |r| < 1, converge hacia cero.

Notemos q la razón, y supongamos q ≠ 1. Entonces la suma de números en progresión geométrica es dada por la fórmula siguiente, bajo tres formas equivalentes:

$S = frac {mbox{primer t}acute{mbox{e}}mbox{rmino} - mbox{t}acute{mbox{e}}mbox{rmino que sigue al }acute{mbox{u}}mbox{ltimo de la suma}} {1 - mbox{raz}acute{mbox{o}}mbox{n}}$

$S = u_0 + u_1 + cdots + u_n = u_0 frac {1 - q^{n+1}} {1 - q} = frac {u_0 - u_{n+1}} {1 - q}$

$S = u_1 + u_2 + cdots + u_n = u_1 frac {1 - q^n} {1 - q} = frac {u_1 - u_{n+1}} {1 - q}$

Si -1 < q < 1, la suma de todos los términos de la sucesión es: $S = frac{u_0}{1 - q}$ .

Fórmulas [editar]

Suponiendo que $A n$ sea el término cualquiera, $A k$ el término que ocupa la posición "k", y $A 1$ el primer término de la sucesión:

Para hallar un término cualquiera en una sucesión geométrica, se debe usar: $A_n = A_k cdot r^{n-k}$

Para sumar los "n" primeros términos de una sucesión geométrica: $S_n = frac {A_n cdot r - A_1} {r - 1}$

Para sumar todos los números de una sucesión (Suma infinita): $S_infty = frac {A_1} {1-r}$ . Esta fórmula sólo es aplicable cuando $0< r <1$

Para calcular el producto de los nº primeros términos de una sucesión: $P_n = sqrt{(A_n cdot A_1)^n}$

Las sucesiones aritmeticogeométricas [editar]

Es, como lo indica su nombre, una mezcla de las dos definiciones anteriores. Se pueden definir por inducción de la siguiente forma:

$begin{matrix} w_0 & = & c qquad quad & (c in mathbb{R}) quad w_{n+1} & = & q cdot w_n + r & (q, r in mathbb{R}) end{matrix}$

La fórmula de inducción hace intervenir la suma de la sucesión aritmética, y el producto de la sucesión geométrica.

Descartemos los casos q = 1 (sucesión aritmética) y r = 0 (sucesión geométrica). Entonces se puede afirmar que el comportamiento de la sucesión es de tipo geométrico, y determinado por q, y que su carácter aritmético solo aparece como una translación.

Más precisamente, sea l el único número que verifica l = ql + r.

Si w₀ = l (lo que equivale a w₁ = w₀ ) entonces w será una sucesión constante. Si no es fácil ver que v₁ = w_n - l es una sucesión geométrica (no nula) de razón q, y que por lo tanto:

si |q| > 1, w no converge (porque no lo hace v) si |q| < 1, w converge hacia l (porque v tiende hacia 0).

Lógicamente, la clasificación del párrafo anterior según los valores de q sigue siendo válida si trasladamos las curvas verticalmente de l unidades.